Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，则说明理由；
（3）设{b_n}满足：为数列{b_n}的前n项和，求证：．

Answer

（1）将点的坐标代入直线方程得到数列的项与和的递推关系，仿写一个等式，两式相减，得到一等比数列，利用等比数列的通项公式求出数列{an}的通项公式．
（2）求出数列的第n项减去数列的第n-1项，为使此差为常数，令2-λ=0，求出λ的值．
（3）求出通项bn，据通项的特点，利用裂项相消法求出数列的前n项和Tn，利用其单调性，求出其最小值，得到要证的不等式．
【解析】
（1）∵点（an+1，Sn）在直线2x+y-2=0上
∴2an+1+Sn-2=0即Sn=2-2an+1
∴当n≥2时Sn-1=2-2an相减得
an=2an+1又
∴
（2）假设存在实数λ符合题意，则必为与n无关的常数
要使上式与n无关，则2-λ=0得λ=2
故存在实数λ=2，使数列为等差数列
（3）∵==
∴Tn=b1+b2+…+bn
=
=
易得是关于正整数n的增函数
故Tn的最小值为
即对一切n∈N*，都有