Question

在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c；
（Ⅰ）设向量，向量，向量，若，求tanB+tanC的值；
（Ⅱ）已知a²-c²=8b，且sinAcosC+3cosAsinC=0，求b．

Answer

（Ⅰ）根据两个向量的坐标写出两个向量的和的坐标，根据向量平行的充要条件写出关于三角形内角的三角函数的关系式，在关系是两边同除以两个角的余弦值的积，把弦化切，得到结果．
（Ⅱ）本题所给的条件是既有边又有角，首先要统一为一种变量之间的关系，角化边，利用正弦定理和余弦定理转化，得到边之间的有一个关系，和题目中所给的另一个关系进行变化，得到结果．
【解析】
（Ⅰ）∵向量，向量，
∴，
由，
得cosC（sinB+cosB）+cosB（sinC+cosC）=0，
即sinBcosC+cosBsinC=-2cosBcosC
所以；
（Ⅱ）∵sinAcosC+3cosAsinC=0，
∴sinAcosC=-3cosAsinC，
把角之间的关系变化为边之间的关系，
则由正弦定理及余弦定理有：，
化简并整理得：a2-c2=2b2，
又由已知a2-c2=8b，
∴2b2=8b，
解得b=4或b=0（舍），
∴b=4．