Question

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：2x-y+3+8和圆C₁：x²+y²+8x+F=0．若直线l被圆C₁截得的弦长为2．
（1）求圆C₁的方程；
（2）设圆C₁和x轴相交于A、B两点，点P为圆C₁上不同于A、B的任意一点，直线PA、PB交y轴于M、N点．当点P变化时，以MN为直径的圆C₂是否经过圆C₁内一定点？请证明你的结论；
（3）若△RST的顶点R在直线x=-1上，S、T在圆C₁上，且直线RS过圆心C₁，∠SRT=30°，求点R的纵坐标的范围．

Answer

（1）把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离即为弦心距，然后根据垂径定理及勾股定理利用圆的半径及弦心距列出方程，即可求出F，得到圆的方程；
（2）先令圆方程中y=0分别求出点A和点B的坐标，可设出点P的坐标，分别表示出直线PA和PB的斜率，然后写出直线PA和PB的方程，分别令直线方程中y=0求出M与N的坐标，因为MN为圆C2的直径，根据中点坐标公式即可求出圆心的坐标，根据两点间的距离公式求出MN，得到圆的半径为MN，写出圆C2的方程，化简后，令y=0求出圆C2过一定点，再利用两点间的距离公式判断出此点在圆C1的内部，得证；
（3）设出R的坐标，作C1F⊥RT于H，设C1H=d，由题意可知d小于等于半径2，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一般，所以C1R小于等于4，然后利用两点间的距离公式表示出C1R，列出不等式即可求出点R纵坐标的范围．
【解析】
（1）圆C1：（x+4）2+y2=16-F，
则圆心（-4，0）到直线2x-y+3+8的距离d=
根据垂径定理及勾股定理得：+（）2=16-F，F=12
∴圆C1的方程为（x+4）2+y2=4；
（2）令圆的方程（x+4）2+y2=4中y=0得到：x=-6，x=-2，则A（-6，0），B（-2，0）
设P（x，y）（y≠0），则（x+4）2+y2=4，得到（x+4）2-4=-y2①
∴kPA=则lPA：y=（x+6），M（0，）
∴则lPB：y=（x+2），N（0，）
圆C2的方程为x2+（y-）2=（）2
完全平方式展开并合并得：x2+y2-2（）y+=0
将①代入化简得x2+y2-2（）y=0，
令y=0，得x=±2，
又点Q（-2，0），
由Q到圆C1的圆心（-4，0）的距离d==4-2＜2，则点Q在圆C1内，
所以当点P变化时，以MN为直径的圆C2经过圆C1内一定点（-2，0）；
（3）设R（-1，t），作C1F⊥RT于H，设C1H=d，
由于∠C1RH=30°，∴RC1=2d，
由题得d≤2，
∴RC1≤4，即≤4，∴-≤t≤，
∴点A的纵坐标的范围为[-，]