Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t为正常数，n=2，3，4…）．
（1）求证：{a_n}为等比数列；
（2）设{a_n}公比为f（t），作数列b_n使，试求b_n，并求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1（n∈N*）

Answer

（1）因为an=Sn-Sn-1（n≥2，n∈N*），所以在3tSn-（2t+3）Sn-1=3t的基础上，用n-1替换n构造与它类似的关系式；然后利用作差法求出an与an-1的关系式，进而可整理为等比数列形式；但不要忘掉未含项的检验．
（2）由（1）知{an}的公比f（t），又bn=f（），则可找到bn与bn-1的关系，进而可整理为等差数列形式；则由等差数列通项公式可求bn；代数式b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1的求值，可利用分组的方法，把它转化到等差数列的性质与前n项和公式上去，则问题解决．
（1）证明：∵a1=1，3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（n≥2，n∈N*）①
∴3tSn-1-（2t+3）Sn-2=3t（n≥3，n∈N*）②
①②两式相减得

又n=2时，

∴an是以1为首项，为公比的等比数列．
（2）【解析】
∵，∴，∴
∴bn是以1为首项，为公差的等差数列，∴
∴b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1（n∈N*）
=b2（b1-b3）+b4（b3-b4）+…+b2n（b2n-1-b2n+1）
=．