Question

已知数列a_n的前n项和为S_n，a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设，如果对一切正整数n都有b_n≤t，求t的最小值．

Answer

（1）由nan+1=Sn+n（n+1）可得（n-1）an=Sn-1+n（n-1）（n≥2）
两式相减可整理可得，an+1=an+2（n≥2），由a1=2，可得a2=S1+2=4，a2-a1=2
故数列{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可求
（2）由（1）可求，Sn=n（n+1），
由数列的单调性可知，bk≥bk+1，bk≥bk-1，从而可求数列{bn}的最大项，由bn≤t恒成立可得t≥bn的最大值，进而可求t的最小
【解析】
（1）∵nan+1=Sn+n（n+1）
∴（n-1）an=Sn-1+n（n-1）（n≥2）
两式相减可得，nan+1-（n-1）an=Sn-Sn-1+2n
即nan+1-（n-1）an=an+2n，（n≥2）
整理可得，an+1=an+2（n≥2）（*）
由a1=2，可得a2=S1+2=4，a2-a1=2适合（*）
故数列{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可得，an=2+（n-1）×2=2n
（2）由（1）可得，Sn=n（n+1），
∴
由数列的单调性可知，bk≥bk+1，bk≥bk-1
解不等式可得2≤k≤3，k∈N*，k=2，或k=3，
b2=b3=为数列{bn}的最大项
由bn≤t恒成立可得，则t的最小值