Question

已知函数f（x）自变量取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f（x）的保值区间．如f（x）=x²，则区间[0，1]为f（x）的保值区间．
（1）求函数f（x）=x³形如[m，+∞）（m∈R）的保值区间；
（2）函数是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值区间？若存在，求出实数a、b的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由y=x3在R上单调递增，自变量取值区间为[m，+∞），其值域区间也为[m，+∞），可得m=f（m）=m3，解得m的值，得出区间；
（2）函数g（x）在[a，b]上的单调性不确定，故分为三种情况进行讨论，①若1≥b＞a＞0，②若b＞a＞1，③若b＞1≥a＞0，前两种情况单调性确定，最值可求，解方程组可求a，b，第三种情况可求最小值为0，不合题意．
【解析】
（1）∵y=x3在R上单调递增．m=f（m）=m3，解得m=0或±1，
∴f（x）的保值区间为[0，+∞）或[1，+∞）或[-1，+∞）．（4分）
（2）函数不存在形如[a，b]的保值区间．若存在实数a、b使得函数有形如[a，b]的保值区间，则a＞0，∵
①若1≥b＞a＞0，
则g（x）=|1-|=-1
在[a，b]上单调递减
最小值g（b），最大值g（a）
g（b）=a，-1=a，1-b=ab
g（a）=b，-1=b，1-a=ab
两式相减得a=b，与题意不符；
②若b＞a＞1，
则g（x）=|1-|=1-
在[a，b]上单调递增
最小值g（a） 最大值g（b）
g（a）=a，1-=a，a-1=a2
g（b）=b，1-=b，b-1=b2
可知a，b是方程x-1=x2的两根
x2-x+1=0，△=-3＜0，无解；
③若b＞1≥a＞0，
则g（x）=|1-|
在[a，1]上单调递减，
在[1，b]上单调递增，
最小值g（1），最大值g（b）或g（a），
a=g（1）=0与a＞0矛盾；
综上所述不存在满足条件的a，b．