Question

已知函数为奇函数，f（1）=-3，且对任意x∈[π，2π]，f（sinx-1）≥0恒成立，f（cosx+3）≥0恒成立．
（1）求b的值；
（2）求证f（2）=0，并求f（x）解析式；
（3）若对任意t∈（1，2]，恒有f（tm）+f（-m-1-t²）＜0，求正数m的取值范围．

Answer

（1）根据函数的性质，我们易根据f（-x）=-f（x）恒成立，构造方程，解方程即可求出求b的值；
（2）由对任意x∈[π，2π]，f（sinx-1）≥0恒成立，f（cosx+3）≥0恒成立我们可得f（-2）≥0且f（2）≥0结合奇函数的性质，即可得到f（2）=0，结合已知中f（1）=-3，构造方程组，解方程组即可得到f（x）解析式；
（3）根据（2）中的解析式，我们易判断在（0，+∞）是增函数，根据奇函数的性质，我们可将不等式f（tm）+f（-m-1-t2）＜0恒成立，转化为一个函数恒成立问题，进而得到正数m的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，即恒成立，
可得b=0（2分）
（2）∵π≤x≤2π，
∴-1≤sinx≤0，-1≤cosx≤1，
∴-2≤sinx-1≤-1，2≤cosx+3≤4
又∵f（sinx-1）≥0，f（cosx+3）≥0恒成立，
∴f（-2）≥0且f（2）≥0，
∵f（x）是奇函数，
∴由f（-2）≥0可得f（2）≤0，
∴f（2）=0（6分）
∴由，及，得c=-4，a=1，
∴（8分）
（3）∵f（x）是奇函数得f（tm）＜f（t2+m+1），
又∵在（0，+∞）是增函数，m＞0，t＞0，
∴tm＞0，m+1+t2＞0∴tm＜t2+m+1，∴（t-1）m＜t2+1，（10分）
∵t∈（1，2]∴t-1＞0，
∴在t∈（1，2]上恒成立
设k=t-1，则k∈（0，1]且t2+1=k2++2k+2，设，
则g（k）在k∈（0，1]上单调递减，
∴g（k）min=g（1）=5，∴m＜5，
又m＞0，所以0＜m＜5（12分）