Question

设F₁，F₂分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F₁到直线l的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的焦距；
（Ⅱ）如果，求椭圆C的方程．

Answer

（Ⅰ）过F1作F1⊥l可直接根据直角三角形的边角关系得到，求得c的值，进而可得到焦距的值．
（Ⅱ）假设点A，B的坐标，再由点斜式得到直线l的方程，然后联立直线与椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，求出两根，再由可得y1与y2的关系，再结合所求得到y1与y2的值可得到a，b的值，进而可求得椭圆方程．
【解析】
（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离．
所以椭圆C的焦距为4．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＜0，y2＞0，直线l的方程为．
联立．
解得．
因为．
即．
得．
故椭圆C的方程为．