Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）上一点P的坐标为（x，y）及直线上一点，过点Q作抛物线的两条切线QA，QB（A，B为切点）．
（1）求过点P与抛物线相切的直线l的方程；
（2）求直线AB的方程．
（3）当点Q在直线上变化时，求证：直线AB过定点，并求定点坐标．

Answer

（1）由x2=2py（p＞0）得，故，由此能求出过点P与抛物线相切的直线l的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线QA方程为x1x-p（y+y1）=0，直线QB方程为x2x-p（y+y2）=0，又点为直线QA，QB的交点，能求出直线AB的方程．
（3）由AB的方程知直线AB过定点，定点坐标坐标为．
【解析】
（1）由x2=2py（p＞0）得，故，故过点P与抛物线相切的直线l的方程为，
化简得，xx-p（y+y）=0（5分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）得，直线QA方程为x1x-p（y+y1）=0，
直线QB方程为x2x-p（y+y2）=0，又点为直线QA，QB的交点，
故
故点A，B都在直线上，
即直线AB的方程为（12分）
（3）由（2）知直线AB过定点，定点坐标坐标为（15分）
注：其他解法相应给分．