Question

已知函数，g（x）=-（x²-3x+1）e^x-9（x＞0）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）是否存在x∈（0，+∞），使得g（x）＞f（x）？若存在，试求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）若∀x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂）+a，求a的取值范围．

Answer

（1）求出f（x）的导数，令导数大于0，求出x的范围即函数的单调递增区间，进一步求出单调递减求出，根据极值的大于得到极值．
（2）求出g（x）的导数，令导函数大于0，求出函数的单调递增区间，进一步求出单调递减区间，求出g（x）的最大值，判断出f（x）的最小值与g（x）的最大值的特殊关系，得到不存在x满足条件．
（3）将不等式恒成立问题转化为（x）的最小值大于g（x）+a的最大值，将（1），（2）中求出的最值代入，得到关于a的不等式，解不等式求出a 的范围．
【解析】
（1）由
得，x＞1，
故f（x）在（1，+∞）递增，在（0，1）递减，
故f（x）有极小值为，无极大值．            
（2）由g'（x）=-（x2-3x+1）ex-（2x-3）ex=-（x2-x-2）ex＞0得，
解得0＜x＜2
故g（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
故g（x）max=g（2）=e2-9＜0
又由（1）知，
故不存在x满足条件．           
（3）问题转化为f（x）的最小值大于g（x）+a的最大值，
由（2）得，，
故