Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225；等比数列{b_n}满足：b₃=a₂+a₃，b₂b₅=128
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（2）记c_n=a_n+b_n求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer

（1）、根据等差数列和等比数列性质结合题中已知条件，便可求出a1，d，b1，q的值，进而求得数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）、由（1）可知cn=（2n-1）•2n，分别求出Tn和2Tn的表达式，然后利用利用错位相减求出数列的和．
【解析】
（1）设an=a1+（n-1）d，Sn=，
所以 a3=a1+2d=5      ①，
S15==15（a1+7d）=225
a1+7d=15         ②
①②联立解得d=2，a1=1，
∴数列{an}的通项公式为an=2n-1
设bn=b1•q（n-1），
所以 b3=a2+a3=8，
b2=，b5=b3•q2
∴b2•b5=b32•q=64•q=128
∴q=2
∴数列{bn}的通项公式为bn=b3•qn-3=2n（n=1，2，3，…）．
（2）∵cn=（2n-1）•2n
∵Tn=2+3•22+5•23+…+（2n-1）•2n
2Tn=22+3•23+5•24+…+（2n-3）•2n+（2n-1）•2 n+1
作差：-Tn=2+23+24+25+…+2 n+1-（2n-1）•2 n+1
=2+23（1-2n-1）1-2-（2n-1）•2n+1
=2+-（2n-1）•2 n+1
=2+2n+2-8-2 n+2n+2 n+1=-6-2n+1•（2n-3）
∴Tn=（2n-3）•2 n+1+6（n=1，2，3，…）．