Question

已知f（x）=x²+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（Ⅰ）若当x=-1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间
（Ⅱ）若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围．

Answer

（I）利用偶函数的定义列出恒成立的等式，求出b的值；将点（2，5）代入y=f（x）求出c的值；求出g（x）的导函数，令导函数在x=1处的值为0，求出a的值；令g（x）的导函数大于0得到g（x）的单调递增区间，令导函数小于0得到g（x）的单调递减区间．
（II）求出g（x）的导函数，令导函数等于0有实根，令方程的判别式大于等于0求出a的范围．
【解析】
（I）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，
故f（-x）=f（x）
即有（-x）2+b（-x）+c=x2+bx+c
解得b=0
又曲线y=f（x）过点（2，5），得22+c=5，
有c=1
∵g（x）=（x+a）f（x）=x3+ax2+x+a
从而g′（x）=3x2+2ax+1，
因x=-1时函数y=g（x）取得极值，
故有g′（-1）=0即3-2a+1=0，
解得a=2
又g′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）
令g′（x）=0，得
当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上为增函数
当时，g′（x）＜0，故g（x）在上为减函数
当时，g′（x）＞0，故g（x）在上为增函数
（Ⅱ）∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，
故有g′（x）=0有实数解．
即3x2+2ax+1=0有实数解．
此时有△=4a2-12≥0
解得
所以实数a的取值范围：