Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
①f（x）=0；                ②f（x）=2x；                    ③f（x）=；
你认为上述三个函数中，哪几个是f函数，请说明理由．

Answer

本题考查阅读题意的能力，根据F函数的定义进行判定：对于①可以利用定义直接加以判断；对于②可以利用绝对值的性质将不等式变形为2≤m；对于③，需要通过讨论，将不等式变形为，可以求出符合条件的m的最小值为，如此可得到正确结论．
【解析】
对于①，显然m是任意正数时都有0≤m|x|，f（x）=0是F函数；
对于②，显然m≥2时，都有|2x|≤m|x|，f（x）=2x是F函数；
对于③，要使|f（x）|≤m|x|成立，即
当x=0时，m可取任意正数；当x≠0时，只须m≥的最大值；
因为x2+x+1=，所以m≥
因此，当m≥时，f（x）=是F函数；
所以以上三个函数均为F函数．