Question

已知圆M：x²+（y-2）²=1，定点A（4，2）在直线x-2y=0上，点P在线段OA上，过P点作圆M的切线PT，切点为T．
（1）若MP=，求直线PT的方程；
（2）经过P，M，T三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L．

Answer

（1）先由MP= 求得P 的坐标，根据圆心到切线的距离等于半径1，求得切线的斜率，点斜式求切线的方程．
（2）设P（2t，t），0≤t≤2，经过 P，M，T三点的圆的圆心为PM的中点D（t，1+），求得OD2的解析式，利用二次函数的性质求得OD的最小值L．
【解析】
（1）先由MP= 求得：P（2，1）． 直线X=2与圆不相切，设直线PT：y-1=k（x-2），即：kx-y+1-2k=0，
圆心M（0，2）到直线距离为1，得：K=0 或k=-，直线方程为：y=1或4x+3y-11=0．
（2）设P（2t，t），0≤t≤2，经过 P，M，T三点的圆的圆心为PM的中点D（t，1+），
所以，，0≤t≤2，t=0 时，得OD的最小值L=1．