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已知函数,其中a,b为常数. (1)当a=6,b=3时,求函数f(x)的单调递增...

已知函数manfen5.com 满分网,其中a,b为常数.
(1)当a=6,b=3时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若任取a∈[0,4],b∈[0,3],求函数f(x)在R上是增函数的概率.
(1)将a=6,b=3代入,我们易求出函数的解析式,求出函数的导函数后,令导函数的函数值大于等于0,由此构造关于x的不等式,解不等式即可得到函数f(x)的单调递增区间; (2)这是一个几何概型问题,我们可以先画出a∈[0,4],b∈[0,3],对应的平面区域的面积,然后再求出满足条件函数f(x)在R上是增函数时对应的平面区域的面积,计算出对应的面积后,代入几何概型公式即可得到答案. 【解析】 (1)当a=6,b=3时,,f'(x)=x2-10x+9 令f'(x)=x2-10x+9≥0,(x-1)(x-9)≥0,解得x≤1或x≥9, 故函数f(x)的单调递增区间分别为(-∞,1]和[9,+∞) (2)f'(x)=x2-2(a-1)x+b2 若函数f(x)在R上是增函数,则对于任意x∈R,f'(x)≥0恒成立. 所以,△=4(a-1)2-4b2≤0,即(a+b-1)(a-b-1)≤0 设“f(x)在R上是增函数”为事件A,则事件A对应的区域为(a,b)|(a+b-1)(a-b-1)≤0 全部试验结果构成的区域Ω=(a,b)|0≤a≤4,0≤b≤3,如图. 所以, 故函数f(x)在R上是增函数的概率为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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