Question

已知函数．
（Ⅰ）设，求证：
（Ⅱ）若b=-2，f（x）的最大值大于6，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设a≥2，若存在x∈R，使得f（x）≤0，求a²+b²-8a的最小值．

Answer

（I）由已知中函数．结合，我们可以求出的表达式，然后利用基本不等式即可求出的值的范围，进而得到答案；
（II）将b=-2代入，我们可利用换元法，结合二次函数在定区间上的值域，及f（x）的最大值大于6构造一个关于a的不等式，分类讨论后，即可得到满足条件的a的取值范围；
（III）当t=sinx，利用换元法，我们可以将若存在x∈R，f（x）≤0，转化为存在实数使一个关于t的二次不等式成立，利用对应的二次函数的性质，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）∵a＞0，b=
∴
即
（Ⅱ）∵b=-2，∴
=
；

解得a的取值范围是
（Ⅲ），
∴，
设t=sinx，令φ（t）=
=
∵a≥2
∴b≤1-a≤-1