Question

已知函数f（x）=x²-bx+c，且f（0）=3，f（1）=0．求：
（1）函数f（x）的表达式；
（2）函数f（x）在[-1，3]上的值域．

Answer

（1）由f（x）=x2-bx+c，且f（0）=3，f（1）=0得出善于b，c的方程，解之即可；
（2）由题意函数为二次函数利用导数法求函数值域，因为定义域为闭区间，所以只要求二次函数在定义域中的极值与区间端点值，这几个函数值的大小即可求得函数的值域．
【解析】
（1）由题意得

解得 a=4，c=3，因此f（x）的解析表达式为 f（x）=x2-4x+3；
（2）因为函数f（x）=x2-4x+3的定义域是[-1，3]，由函数f（x）求导得：f′（x）=2x-4，令2x-4=0得：x=2，
当x∈[-1，2]，时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
当x∈[2，3]，时，f′（x）＞0，函数在此区间上单调递增；
所以x=2是函数在定义域上的极小值，也应为最小值，
最大值只能在区间的端点处取得，
而f（2）=-1，f（-1）=8，f（3）=0，
∴最大值为f（-1）=8，
所以函数在定义域上的值域为：[-1，8]．