Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ根据不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）得出x=1和x=3是方程ax2+（b+2）x+c=0（a＜0）的两根列出关于a，b的等式再根据方程f（x）+6a=0有两个相等的实根得到：△=0求得a值，从而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax2-2（2a+1）x+3a配方后即可求得其最大值为再由题意得出关于a的不等关系，即可求得a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）
∴x=1和x=3是方程ax2+（b+2）x+c=0（a＜0）的两根
∴
∴b=-4a-2，c=3a
又方程f（x）+6a=0有两个相等的实根
∴△=b2-4a（c+6a）=0
∴4（2a+1）2-4a×9a=0
∴（5a+1）（1-a）=0
∴或a=1（舍）
∴
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax2-2（2a+1）x+3a==
∵a＜0，
∴f（x）的最大值为
∵f（x）的最大值为正数
∴
∴解得或
∴所求实a的取值范围是