Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若且a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2）．
（Ⅰ）求证是等差数列，并求出a_n的表达式；
（Ⅱ） 若b_n=2（1-n）a_n（n≥2），求证b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

Answer

（Ⅰ）根据等差数列的基本性质结合题中已知条件，便可求出为定值，即可证明是等差数列，然后分别讨论当n=1和n≥2时an的表达式即可；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中求得的an的表达式求出bn的表达式，然后证明b22+b32+…+bn2＜1即可．
【解析】
（I）证明：当n≥2时，an=Sn-Sn-1
又an+2SnSn-1=0
∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0（n≥2），
若Sn=0，则an=0，
∴a1=0与a1=矛盾
∴Sn≠0，Sn-1≠0．
∴+2=0即=2，
又=2．
∴{}是首项为2，公差为2的等差数列
由（I）知数列{}是等差数列．
∴=2+（n-1）•2=2n即Sn=
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=，
又当n=1时，S1=a1=，
∴an=，
（Ⅱ）证明：由（I）知bn=2（1-n）•（n≥2）
∴b22+b32+…+bn2=＜
=
=1-＜1