Question

已知圆（x-3）²+（y-4）²=16，直线l₁：kx-y-k=0．
（1）若l₁与圆交于两个不同点P，Q，求实数k的取值范围；
（2）若PQ的中点为M，A（1，0），且l₁与l₂：x+2y+4=0的交点为N，求证：|AM|•|AN|为定值．

Answer

（1）由圆心（3，4）到已知直线的距离小于半径4，解不等式求得实数k的取值范围．
（2） 先求得N的坐标，利用一元二次方程根与系数的关系和中点公式，求得中点M 的坐标，化简|AM|•|AN|的解析式得到定值．
【解析】
（1）圆心（3，4）到已知直线的距离小于半径4，由点到直线的距
离公式得3k2+4k＞0，∴，或k＞0．
（2）证明：由 得：，
再由 得（1+k2）x2-（2k2+8k+6）x+k2+8k+9=0，
∴，∴，
∴|AM||AN|=
==10  （为定值）．