Question

已知：四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且．
求证：（1）四边形EFGH是梯形；
（2）FE和GH的交点在直线AC上．

Answer

（1）根据已知中四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，由平行线分线段成比例定理，我们易证明出EH∥FG，但EH≠FG，故四边形EFGH是梯形；
（2）由（1）的结论，我们易得EFGH四点共面，而且EF与FG相交，结合公理3我们易证明出FE和GH的交点在直线AC上．
证明：已知如下图所示：
（1）连接BD，
∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴EH∥BD
又∵，∴FG∥BD
因此EH∥FG且EH≠FG
故四边形EFGH是梯形；（6分）
（2）由（1）知EF，HG相交，设EF∩HG=K
∵K∈EF，EF⊂平面ABC，
∴k∈平面ABC
同理K∈平面ACD，
又平面平面ABC∩平面ACD=AC
∴K∈AC
故FE和GH的交点在直线AC上．（12分）