在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，底边AB上有且只有一点M...

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，底边AB上有且只有一点M使得平面D₁DM⊥平面D₁MC．
（1）求异面直线C₁C与D₁M的距离；
（2）求二面角M-D₁C-D的正弦值．

（1）根据面与面垂直得到线与面垂直，有DH⊥MC，满足条件的M只有一个，以CD为直径的圆必与AB相切，切点为M，M为的AB中点，得到MC为异面直线CC1与D1M的公垂线段．（2）取CD中点E，连接ME，得到线面垂直，做出二面角的平面角，在直角三角形中，根据三角函数的定义，得到要求角的三角函数值．【解析】（1）证明：过D作DH⊥D1M于H ∵平面D1DM⊥平面D1MC且平面D1DM∩平面D1MC=D1M ∴DH⊥平面D1MC ∴DH⊥MC 又∵MC⊥D1D ∴MC⊥平面D1DM ∴MC⊥DM 又∵满足条件的M只有一个 ∴以CD为直径的圆必与AB相切，切点为M，M为的AB中点 ∴ ∴CD=2 ∵MC⊥平面D1DM， ∴MC⊥D1M 又∵CC1⊥MC，所以MC为异面直线CC1与D1M的公垂线段 CM的长度为所求距离（2）取CD中点E，连接ME，则ME⊥平面D1CD 过M作MF⊥D1C于F，连接EF，则EF⊥CD1 ∴∠MFE为二面角的平面角又∵ME=1，MF= 在RT△MEF中sin∠MFE=

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考点分析：

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试题属性

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难度：中等