Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（I）证明：CD⊥AE；
（II）证明：PD⊥平面ABE；
（III）求二面角A-PD-C的大小．

Answer

（I）由题意利用线面PA⊥底面ABCD得线线PA⊥CD，进而得线面CD⊥平面PAC，即可得证；
（II）由题意可得AE⊥PC，由（I）知，AE⊥CD，进而得到AE⊥平面PCD，在由线线垂直得PD⊥平面ABE；
（III）因为AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD．因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角，然后再在三角形中求出即可．
【解析】
（I）证明：在四棱锥P-ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
而AE⊂平面PAC，
∴AE⊥CD．
（II）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
由（I）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
又AB∩AE=A，综上得PD⊥平面ABE．

（III）过点A作AM⊥PD，垂足为M，连接EM．
由（II）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD．
因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角．
由已知，得∠CAD=30°．设AC=a，可得．
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM．PD=PA．AD．则．
在Rt△AEM中，．
所以二面角A-PD-C的大小是．