Question

在两个各项均为正数的数列a_n、b_n（n∈N^*）中，已知a_n、b_n²、a_n+1成等差数列，并且b_n²、a_n+1、b_n+1²成等比数列．
（Ⅰ）证明：数列b_n是等差数列；
（Ⅱ）若a₁=2，a₂=6，设（q＞0为常数），求数列c_n的前n项和S_n

Answer

（Ⅰ）根据等差数列和等比数列的性质联立方程求得an+1=bnbn+1，进而求得an=bn-1bn，代入2bn2=an+an+1，求得2bn=bn-1+bn+1，判断出数列bn是等差数列．
（Ⅱ）2bn2=an+an+1求得b1，根据（1）中的结论求得数列{bn}的通项公式，进而根据an=bn-1bn，求得an．进而Cn的通项公式可得先看当q=1时，Cn=n，进而根据等差数列的求和公式求得前n项的和；再看q≠0时，应用错位相减法求得前n项的和．最后综合可得答案．
【解析】
（I）由题意知，
又∵数列an、bn各项都是正数，∴an+1=bnbn+1，则an=bn-1bn
代入2bn2=an+an+1，得2bn2=bn-1bn+bnbn+1
即2bn=bn-1+bn+1，所以数列bn是等差数列．

（II）∵a1=2，a2=6，又2bn2=an+an+1，得2b12=a1+a2=8，解得b1=2
又∵a2=b1b2=6∴b2=3，由（I）知数列bn是等差数列，则公差d=b2-b1=1
∴bn=b1+（n-1）d=2+n-1=n+1，
又an=bn-1bn，得an=n（n+1）=n2+n，
∴，
则当q=1时，cn=n，此时；
当q≠1时，Sn=c1+c2++cn=1×q2+2×q3++nqn+1，①
所以qSn=qc1+qc2++qcn=1×q3+2×q4++nqn+2②
由①-②，得，
即
综上可知，