Question

如图，过点P（0，a³）（0＜a＜2）的两直线与抛物线y=-ax²相切于A，B两点，且AD和BC均垂直于直线y=-8，垂足分别为D，C，得矩形ABCD．
（1）求A，B两切点的坐标（用a表示）；
（2）设矩形ABCD的面积为S（a），求S（a）的最大值．

Answer

（1）设切点为（x，y），则y=-ax2，得到切线的方程，把切点的坐标代入求得x=±a，从而得到y=-a3，进而得到A、B的坐标．
（2）可知AB=2a，BC=8-a3，得S（a）=16a-2a4（0＜a＜2），利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的最值．
【解析】
（1）设切点为（x，y），则y=-ax2，∵y′=-2ax，∴切线方程为y-y=-2ax（x-x），
即y+ax2=-2ax（x-x）．∵切线经过点（0，a3），∴a3+ax2=-2ax（0-x），
即a3=ax2，于是x=±a，得y=-a3，∴A（a，-a3），B（-a，-a3 ）．
（2）可知AB=2a，BC=8-a3，∴S（a）=16a-2a4（0＜a＜2），∴S′（a）=16-8a3 ．
∴当0＜a＜时，S′（a）＞0； ＜a＜2时，S′（a）＜0，∴当时，S（a）有最大值．