Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B的中点．
（1）求证：AE⊥A₁C；
（2）求证：B₁C₁∥平面AC；
（3）求三棱锥A-A1BC的体积．

Answer

（1）根据正方体的几何特征，我们易得到BC⊥AE，AE⊥A1B，由线面垂直的判定定理，可得AE⊥平面A1BC，再根据线面垂直的性质，即可得到AE⊥A1C；
（2）根据正方体的几何特征，我们易得到B1C1∥BC，结合线面平行的判定定理，即可得到B1C1∥平面AC；
（3）三棱锥A-A1BC的体积，可转化为求三棱锥A1-ABC的体积，根据正方体的几何特征，我们求出棱锥的高和底面面积，即可得到答案．
【解析】
（1）证明：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵
∴BC⊥AE…（2分）
正方形ABA1B1中，E是A1B的中点，
∴AE⊥A1B  …（3分）
又∵BC∩A1B=B，BC⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，
∴AE⊥平面A1BC，…（4分）
又∵A1C⊂平面A1BC，
∴AE⊥A1C；…（5分）
（2）证明：正方体体ABCD-A1B1C1D1中，
∵B1C1∥BC，BC⊂平面AC，B1C1⊄平面AC
∴B1C1∥平面AC；
（3）====