Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点，则直线B₁B和平面CDB₁所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

以D为坐标原点，以CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，令AC=BC=CC1=2，我们易求出几何体中各顶点的坐标，及而求出直线B1B的方向向量和平面CDB1的法向量，代入向量夹角公式，求出直线B1B和平面CDB1所成角的正弦值，再由同有三角函数关系，即可求出直线B1B和平面CDB1所成角的正切值．
【解析】
以D为坐标原点，以CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，令AC=BC=CC1=2
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），B1（0，2，2）
则=（0，0，-2），=（1，1，0），=（0，2，2）
设=（x，y，z）为平面CDB1的一个法向量
则，即
令x=1则=（1，-1，1）
则cos==-
设直线B1B和平面CDB1所成角为θ
则sinθ=，cosθ=
则tanθ=
故选D