Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．
（1）求直线BC₁和B₁D₁所成角的大小；
（2）求直线BC₁和平面B₁D₁DB所成角的大小．

Answer

（1）以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线BC1和B1D1的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出直线BC1和B1D1所成角的大小；
（2）结合（1）的结论，再求出平面B1D1DB的法向量，代入向量夹角公式，即可求出直线BC1和平面B1D1DB所成角的大小．
【解析】
（1）如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则D1（0，0，1），B1（1，1，1），B（1，1，0），C1（0，1，1），，．…（3分）
因为 ，…（5分）
所以直线BC1和B1D1所成角的大小为60°．…（6分）
（2）连接A1C1，记A1C1∩B1D1=O，连接OB．
因为A1C1⊥B1D1，A1C1⊥B1B，
所以A1C1⊥平面B1D1DB，
从而∠OBC1是直线BC1与平面B1D1DB所成的角．…（9分）
易知，从而，
因为 ，
所以直线BC1与平面B1D1DB所成角的大小是30°．…（12分）