Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，E是DD₁的中点．
（1）求证：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求的值；
（3）在（2）的条件下，求二面角D-AE-C的大小．

Answer

（1）以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=a，AB=b，然后表示出向量，计算它们的数量可得结论；
（2）根据B1D⊥AE，可得，求出a和b的等量关系，从而求出的值；
（3）是平面DAE的一个法向量，然后求出平面AEC的一个法向量n，最后根据公式求出二面角D-AE-C的大小．
【解析】
因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，底面ABCD是正方形，所以DA、DC、DD1两两垂直．
如图，以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
设AA1=a，AB=b．
则 D（0，0，0），A（b，0，0），B（b，b，0），C（0，b，0），B1（b，b，a）．
（1）证明：因为，
所以，
所以AC⊥B1D．…（3分）
（2）【解析】
因为B1D⊥平面ACE，
所以B1D⊥AE．
因为，所以，
因为 ，
所以 ．…（6分）
（3）【解析】
是平面DAE的一个法向量，．
设n=（x，y，z）是平面AEC的一个法向量，则，，
即 
取x=1，则，即．…（8分）
设二面角D-AE-C的大小是θ，则，
所以二面角D-AE-C的大小是60°．…（10分）．