Question

已知函数在x=1处取到极值2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数．若对任意的x₁∈R，总存在x₂∈[1，e]，使得，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用函数的求导公式计算函数的导数，根据函数在x=1处取到极值得出函数在x=1处的导数为0，再把x=2代入函数，联立两式求出m，n的值即可．
已知函数在x=1处取到极值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=≤2．当且仅当x=1时取“=”．
故f（x）的值域为[-2，2]．从而．依题意有（7分）
【解析】
（Ⅰ）（2分）
根据题意，f（x）=，
f′（x）=-；
由f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，
解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=≤2．当且仅当x=1时取“=”．
故f（x）的值域为[-2，2]．从而．依题意有（7分）
函数的定义域为（0，+∞），（8分）
①当a≤1时，g′（x）＞0函数g（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为合题意；
②当1＜a＜e时，函数g（x）在[1，a）上有g′（x）＜0，单调递减，在（a，e]上有g′（x）＞0，单调递增，所以函数g（x）最小值为f（a）=lna+1，由，得．从而知符合题意．
③当a≥e时，显然函数g（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为，不合题意（11分）综上所述，a的取值范围为（12分）