Question

求和：S_n=（x+）²+（x²+）²+…+（xⁿ+）²．

Answer

先讨论当x=±1时，通项为常数，求出其前n项的和；再求当x≠±1时，将数列的通项展开，判断出其是有三个特殊数列的和构成，两个等比数列一个等差数列；利用分组求和的方法，求出前n项和
【解析】
当x=±1时，
∵（xn+）2=4，∴Sn=4n，
当x≠±1时，
∵an=x2n+2+，
∴Sn=（x2+x4++x2n）+2n+（+++）=++2n
=+2n，
所以当x=±1时，Sn=4n；
当x≠±1时，Sn=+2n．