Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-c（其中a，b，c均为常数，x∈R）．当x=1时，函数f（x）的极植为-3-c．
（1）试确定a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对于任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范围．

Answer

（1）求出f'（x），因为当x=1时，函数f（x）的极植为-3-c．得到f（1）=-3-c，f′（1）=0代入得f（x）的解析式即可；（2）令f′（x）=0求出函数的驻点，利用驻点讨论函数的增减性得到函数的单调区间即可；
（3）要使不等式f（x）≥-2c2恒成立即-6x3-9x2-c≥-2c2对任意x＞0恒成立，则函数的最小值大于等于-2c2得到关于c的不等式即可求出c的取值范围．
【解析】
（1）由f（x）=ax3+bx2-c，得f'（x）=3ax2+2bx，
当x=1时，f（x）的极值为-3-c，
∴，得，∴，
∴f（x）=6x3-9x2-c．
（2）∵f（x）=6x3-9x2-c，∴f′（x）=18x2-18x=18x（x-1），
令f′（x）=0，得x=0或x=1．
当x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（1，+∞），单调递减区间是[0，1]．
（3）∵f（x）≥-2c2对任意x＞0恒成立，∴-6x3-9x2-c≥-2c2对任意x＞0恒成立，
∵当x=1时，f（x）min=-3-c，∴-3-c≥-2c2，得2c2-c-3≥0，
∴c≤-1或．
∴c的取值范围是．