Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．|φ|＜）在一个周期内的部分函数图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值和最小值．

Answer

（I）由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．|φ|＜）在一个周期内的部分函数图象，我们易求出函数的最大值，最小值，周期等信息，结合A，ω，φ与函数最值、周期之间的关系，易求出函数的解析式．
（II）根据（I）中所求的函数的解析式，结合正弦型函数单调性的确定方法，即可求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．|φ|＜）的单调递增区间．
（Ⅲ）根据（II）的结论，我们易分析出函数在区间[0，1]上的单调性，进而得到函数f（x）在区间[0，1]上的最大值和最小值．
【解析】
（Ⅰ）由图可得当X=时，函数有最大值2；当X=时，函数有最小值-2；
∴A=2，
T=2=，即ω=π
∴f（x）=2sin（πx+φ）
又∵函数图象过（，2）点，|φ|＜
∴2=2sin（π+φ），
解得φ=
∴f（x）=2sin（πx+）
（II）令2kπ-≤πx+≤2kπ+，k∈Z
则2k-≤x≤2k+，k∈Z
∴函数f（x）=2sin（πx+）的单调递增区间为[2k-，2k+]，（k∈Z）
（III）由（II）的结论我们可得，
函数f（x）=2sin（πx+）在区间[0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，
∴当X=时，函数f（x）=2sin（πx+）取最大值2，当X=1时，函数f（x）=2sin（πx+）取最小值-1．