Question

若曲线C上的点到直线x=-2的距离比它到点F（1，0）的距离大1，
（1）求曲线C的方程．
（2）过点F（1，0）作倾斜角为135的直线交曲线C于A、B两点，求AB的长
（3）过点F（1，0）作斜率为k 的直线交曲线C于M、N 两点，求证：为定值．

Answer

（1）由已知得曲线C上的点到直线x=-1的距离等于到点（1，0）的距离，所以曲线C的轨迹是抛物线，由此能求出其方程．
（2）由，得y2+4y-4=0，y1+y2=-4，y1y2=-4，设A（x1，y1），B（x2，y2），由此能求出．
（3），，设M（x3，y3），N（x4，y4），，由此能求出为定值．
【解析】
（1）由已知得曲线C上的点到直线x=-1的距离等于到点（1，0）的距离，所以曲线C的轨迹是抛物线，其方程是y2=4x．
（2）由，得y2+4y-4=0，
∴y1+y2=-4，y1y2=-4，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴．
（3），∴，
设M（x3，y3），N（x4，y4），，
∴
==，
∴为定值．