Question

已知椭圆的离心率是．
（1）证明：a=2b；
（2）设点P为椭圆上的动点，点，若的最大值是，求椭圆的方程．

Answer

（1）根据离心率为=以及c2=a2-b2，即可证明结论．
（2）设P（x，y）由//的最大值为，求得b的值，从而求得椭圆方程．
【解析】
（1）证明：设椭圆的半焦距为c．
因为椭圆的离心率是，所以 ，即a=2b．      
（2）设点P（x，y）．
则=，其中-b≤y≤b．
①若2，则当y=-b3时，4取得最大值．
由题设，，，这与矛盾．             
②若，则当时，取得最大值．
由题设，，解得b=1，从而a=2．
故椭圆方程为．