Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（1，0）的距离与定直线l：x=-1的距离相等．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点F作倾斜角为45°的直线m交轨迹E于点A，B，求△AOB的面积．

Answer

（1）先设P（x，y），由抛物线定义知点P的轨迹E为抛物线，写出其标准方程即可；
（2）l：y=x-1，代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，再设A（x1，y1），B（x2，y2），求得A、B两点间的垂直距离|y1-y2|，后即可由三角形的面积公式得出△AOB的面积，这里只须求出两点的垂直的距离乘以线段OF的长度即可．
【解析】
（1）设P（x，y），
由抛物线定义知点P的轨迹E为抛物线，
其方程为：y2=4x．
（2）l：y=x-1，代入y2=4x，消去x，得y2-4y-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1，2=2±2
∴|y1-y2|=4
∴△AOB的面积：

=．