Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-4）=-f（x），在[0，2]上f（x）是增函数，则下列结论：①若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，则f（x₁）+f（x₂）＞0；②若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，则f（x₁）＞f（x₂）；③若方程f（x）=m在[-8，8]内恰有四个不同的角x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=±8，其中正确的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer

由条件“f（x-4）=-f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，
由这些画出示意图，由图可解决问题．
【解析】
此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，
综合条件得函数的示意图，由图看出，
①若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=4，f（x）在[0，2]上是增函数，则f（x1）＞f（x1-4）=f（-x2）=-f（x2）；，则f（x1）+f（x2）＞0；故①正确；
②若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=5，f（x）在[0，2]上是增函数，由图可知：f（x1）＞f（x2）；故②正确；
③四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-6），
另两个交点的横坐标之和为2×2，
所以x1+x2+x3+x4=-8．故③正确；
故选D．