Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，点M是棱PC的中点，PA⊥平面ABCD，AC、BD交于点O．
（1）已知：PA=，求证：AM⊥平面PBD；
（2）若二面角M-AB-D的余弦值等于，求PA的长．

Answer

（1）由已知中四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，点M是棱PC的中点，得到AM、PO交点G是△PAC的重心，根据三角形重心的性质，我们易得AG、OG的长，由勾股定理，我们易得AG⊥PO，由线面垂直的判定定理易得到BD⊥平面PAC，再由线面垂直的性质得到BD⊥AM，结合AG⊥BD，即可得到AM⊥平面PBD；
（2）由MO∥PA，结合已知中PA⊥平面ABCD，过O作AB的垂线，垂足为N，连接MN，易得到∴∠MNO即为二面角M-AB-D的平面角，由已知中二面角M-AB-D的余弦值等于，我们可构造一个关于OM的方程，解方程求出OM值，即可求出满足条件时PA的长．
【解析】
（1）底面ABCD是边长为2的菱形，AC、BD交于点O．故O为AC的中点，
又∵点M是棱PC的中点，
∴AM、PO交点G是△PAC的重心，
∴AG=AM==，OG=PO=，AG2+OG2=1=AO2
∴AG⊥PO
又BD⊥AO，BD⊥PA，PA∩AO=A
∴BD⊥平面PAC，
又由AM⊂平面PAC，
∴BD⊥AM，
又由AG⊥BD，AM∩AG=A
∴AM⊥平面PBD；
（2）由MO∥PA
∴MO⊥平面ABCD，
过O作AB的垂线，垂足为N，则ON=BO=
连接MN，则MN⊥AB，
∴∠MNO即为二面角M-AB-D的平面角
则=，解得OM-1
PA=2OM=2