Question

已知点A（-1，0），B（0，2），点P是圆（x-1）²+y²=1上任意一点，则△PAB面积的最大值是    ．

Answer

当过P点的直线与AB平行且与圆相切时，切点P为△PAB面积的最大值时动点的位置，由A与B的坐标求出直线AB的斜率为2，进而得到切线的斜率也为2，设出切线方程y=2x+b，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离d等于半径r，列出关于b的方程，求出的解得到b的值，确定出切线的方程，然后由A与B两点写出直线AB的方程，根据平行线间的距离公式求出AB与切线间的距离即为三角形ABP中AB边上的高，利用勾股定理求出|AB|的长，利用三角形的面积公式即可求出此时△PAB面积，此时的面积即为最大值．
【解析】
根据题意画出图形，如图所示：
由直线AB的斜率kAB==2，得到过P与AB平行且与圆相切的直线斜率k=2，
设该直线的方程为：y=2x+b，又圆心坐标为（1，0），半径r=1，
所以圆心到直线的距离d==r=1，即b=-2（舍去）或b=--2，
故该直线方程为：y=2x--2，又直线AB的方程为：y=2（x+1），即y=2x+2，
所以两平行线的距离为，|AB|==，
则△PAB面积的最大值是××=．
故答案为：