Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是AC与BD的交点，M是CC₁的中点．
（1）求证：A₁P⊥平面MBD；
（2）求直线B₁M与平面MBD所成角的正弦值；
（3）求平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值．

Answer

（1）以D为坐标原点，向量，，为单位正交基向量，建立空间直角坐标系D-xyz．分别求出向量，，的坐标，根据•=0，•=0，得到A1P⊥DB，A1P⊥DM，由线面垂直的判定定理得A1P⊥平面MBD；
（2）分别求出直线B1M的方向向量与平面MBD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到直线B1M与平面MBD所成角的正弦值；
（3）分别求出平面ABM与平面MBD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值．
【解析】
（1）证明：如图，以D为坐标原点，向量，，为单位正交基向量，
建立空间直角坐标系D-xyz．则P（，，0），M（0，1，）．
=（-，，-1），=（1，1，0），
=（0，1，），所以=0，=0．
所以
又因为BD∩DM=D，所以A1P⊥平面MBD；
（2）由（1）可知，可取=（1，-1，2）为平面MBD的一个法向量．
又=（-1，0，-），
所以cos＜，＞=
所以直线AM与平面MBD所成角的正弦值为．
（3）=（0，1，0），=（-1，0，）．
设1=（x，y，z）为平面ABM的一个法向量，则
解得即，故可取1=（1，0，2）．
由（1）可知，可取=（1，-1，2）为平面MBD的一个法向量．
所以cos＜，1＞==．
所以平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值为．