Question

设m＞3，对于有穷数列{a_n}（n=1，2，…，m）），令b_k为a₁，a₂，…a_k中的最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”．数列{b_n}中不相等项的个数称为{a_n}的“创新阶数”．例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7，创新阶数为3．考察自然数1，2，…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{C_n}．
（1）若m=5，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{C_n}；
（2）是否存在数列{C_n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数{C_n}，若不存在，请说明理由．

Answer

根据令bk为a1，a2，…ak中的最大值，称数列{bn}为{an}的“创新数列”，
（1）创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{Cn}，可知其首项是3，第二项是4，第三项是1或2，第四项是5，第五项是2或1，可写出{Cn}；
（2）假设存在数列{Cn}，使它的创新数列为等差数列，根据创新数列的定义和等差数列的定义，分类讨论可求得{Cn}．
【解析】
（1）由题意，创新数列为3，4，4，5，5的数列{cn}有两个，即：
①数列3，4，1，5，2；
②数列3，4，2，5，1．
（2）假设存在数列{cn}，它的创新数列为等差数列．
设数列{Cn}的创新数列为{en}（n=1，2，…m），
因为em为，c1，c2…cm中的最大值．
所以em=m．由题意知：ek为c1，c2，…ck中最大值，
ek+1为c1，c2，…，ek，ek+1中最大值，
所以ek≤ek+1，且ek∈{，2，…，m}．
若{en}为等差数列，设其公差为d，
则d=ek+1-ek≥0，且d∈N，
当d=0时，{en}为常数列，又em=m，
所以数列{en}为m，m，…，m，
此时数列{cn}是首项为m的任意一个符合条件的数列；
当d=1时，因为em=m，所以数列{en}为1，2，3，…，m，
此时数列{cn}是1，2，3，…，m；
当d≥2时，因为em=e1+（m-1）d≥e1+（m-1）×2=2m-2+e1，
又m＞3，e1＞0，所以em＞m，这与em=m矛盾，所以此时{en}不存在，
即不存在{cn}使得它的创新数列为d≥2的等差数列．
综上，当数列{cn}为：1°首项为m的任意符合条件的数列；
2°数列1，2，3，…，m时，它的创新数列为等差数列．