Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为（0，1），点P（0，m）（m≠0）．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点P且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，点P关于原点的对称点Q，若m＜0，求使得△QAB面积最大的m的值；
（3）设过P点的直线交抛物线C于M、N两点，是否存在这样的点P，使得为定值？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（1）设抛物线C的方程是x2=ay，根据焦点为F的坐标求得a，进而可得抛物线的方程．
（2）y=x+m代入x2=4y，得x2-4x-4m=0，|AB|=，，由此知当m=-时，S△QAB有最大值．
（3）假设存在这样的点P，设直线MN的方程为y=kx+m，代入方程，得x2-4kx-4m=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
△＞0，k2+m＞0，x1+x2=4k，x1x2=-4m，由此能够推导出m=1时，为定值，存在点P（0，1）．
【解析】
（1）设抛物线C的方程是x2=ay，
则 =1，
即a=4．
故所求抛物线C的方程为x2=4y．
（2）y=x+m代入x2=4y，得
x2-4x-4m=0，
|AB|=，
∴

 m  m - -
 3m2+2m +  0 -

∴当m=-时，S△QAB有最大值．
（3）假设存在这样的点P，设直线MN的方程为y=kx+m，
代入方程，得x2-4kx-4m=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
△＞0，k2+m＞0，x1+x2=4k，x1x2=-4m，
①当m＜0时，（）=不是定值．
②当m＞0时，=，
在上式中，令k=0，1，得，
∴m=1时，为定值，
存在点P（0，1）．