Question

已知函数f（x）、g（x）对任意实数x、y都满足条件①f（x+1）=3f（x），且，②g（x+y）=g（x）+2y，且g（6）=15，（n为正整数）
（Ⅰ）求数列{f（n）}、{g（n）}的通项公式；
（II）设a_n=g[f（n）]，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）将函数f（x）中的x=n便可知道数列{f（n）}为等比数列将g（x+y）中的x=n/y=1即可知道数列{g（n）}为等差数列，根据题中已知条件便可求出数列{f（n）}和{g（n）}的通项公式；
（II）由（I）中求得的数列{f（n）}和{g（n）}的通项公式便可求出an的通项公式，然后即可求出数列{an}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）由条件①中f（x+1）=3f（x），得为常数，
可知{f（n）}是以3为公比的等比数列，
又∵f（1）=f（1+0）=3f（0）=1，
∴f（n）=1×3n-1=3n-1
在条件②中，令x=n，y=1，得g（n+1）=g（n）+2，
可知{g（n）}是以2为公差的等差数列，
∴g（n）=g（6）+（n-6）•2=2n+3，
即g（n）=2n+3
（II）由（Ⅰ）得an=g[f（n）]=2f（n）+3=2×3n-1+3，
∴Tn=a1+a2+a3+…+an=
=3n+3n-1．