Question

某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．

Answer

（1）要将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，需把△OEF的三边分别用含有α的关系式来表示，而OE，
OF，分别可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，从而可求．
（2）要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得，，
利用换元，设sinα+cosα=t，则，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．
【解析】
（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=
在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=．
又∠EOF=90°，
∴EF═=，
∴
即．
当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=；
当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=．
故此函数的定义域为
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．
由（1）得，，
设sinα+cosα=t，则，
∴
由t=sinα+cosα=，又，得，
∴，
从而，当，即BE=25时，，
所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．