Question

A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全，核电站与城距离不得少于10km．若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．已知月供电费用与供电距离的平方和月供电量的积成正比，比例系数为0.25．
（1）求x的范围；
（2）若A、B两城月供电总费用为y，把y表示x的函数；
（3）问核电站建在距A城多远，才能使A、B两城月供电总费用最小．

Answer

（1）因为核电站距A城xkm，则距B城（100-x）km；由x≥10，且100-x≥10，得x的范围；
（2）A城供电费用y1=0.25×20x2，B城供电费用y2=0.25×10（100-x）2，总费用y=y1+y2，整理即可；
（3）因为函数y=7.5x2-500x+25000是二次函数，由二次函数的性质可得，x=-时，函数y取得最小值．
【解析】
（1）因为核电站距A城xkm，则距B城（100-x）km；∴x≥10，且100-x≥10，解得，10≤x≤90； 所以，x的取值范围是{x|10≤x≤90}．
（2）A城供电费用为：y1=0.25×20x2=5x2； B城供电费用为：y2=0.25×10（100-x）2=2.5x2-500x+25000； 所以总费用为：y=y1+y2=5x2+（2.5x2-500x+25000）=7.5x2-500x+25000（其中10≤x≤90）；
（3）因为函数y=7.5x2-500x+25000（其中10≤x≤90），当x=-=时，此函数取得最小值；
所以，核电站建在距A城km处，能使A、B两城月供电总费用最小．