Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F₁PF₂的最大值为90°，直线l过左焦点F₂与椭圆交于A、B两点，△ABF₂的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求椭圆C的方程．

Answer

（1）根据椭圆的性质可得，当P是椭圆短轴的顶点时，∠F1PF2 取最大值为90°，故有 b=c，离心率 =．
（2）由（1）知，可设椭圆方程：，c＞0，当直线l垂直于x轴时，△ABF2的面积为  c2，令
 c2=12 可得椭圆的方程为 ．当直线l不垂直于x轴时，△ABF2的面积 S=•AB•h
=••2c ≤，故所求的椭圆的方程为 ．
【解析】
（1）根据椭圆的性质可得，当P是椭圆短轴的顶点时，∠F1PF2 取最大值为90°，∴b=c，
∴a=c，∴离心率 =．
（2）由（1）知，可设椭圆方程：，c＞0，当直线l垂直于x轴时，
直线l的方程为 x=-c，，△ABF2 为等腰三角形，把x=-c  代入椭圆可得 y=±．
△ABF2的面积为  • c•2c= c2．令  c2=12，c2=6，
椭圆的方程为 ．
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为 y-0=k（x+c），代入椭圆的方程可得 
（1+2k2）x2 +4c k2x+2c2（k2-1）=0，∴x1+x2 =，x1x2=．
∴AB==，AB边上的高h=2c•sin∠BF1F2=2c ，
∴△ABF2的面积 S=•AB•h=••2c  
=2c2•=2•=2•≤，
 故S的最大值为，此时，椭圆的方程为 ．