Question

已知函数f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．
（1）若m=4，求函数y=f（x）在区间[1，5]的值域；
（2）若函数y=f（x）在R上为增函数，求m的取值范围．

Answer

本题（1）可以去掉绝对值符号，转化为分段二次函数，利用闭区间上求最值的方法，可以求得函数y=f（x）在区间[1，5]的值域；
     （2）同上，先去掉绝对值符号，转化为分段的二次函数，利用配方法与函数的单调性可以求得m的取值范围．
【解析】
（1）f（x）=x|x-4|+2x-3=
=（ 6分）
∵x∈[1，5]
∴f（x）在[1，3]上递增，在[3，4]上递减，在[4，5]上递增．
∵f（1）=2，f（3）=6，f（4）=5，f（5）=12，
∴f（x）的值域为[2，12]（ 10分）
（2）f（x）=x|x-m|+2x-3=
=
因为f（x）在R上为增函数，所以-2≤m≤2．  （15分）