Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）若关于x的不等式f-f（9^x-3^x+1）≥f（1）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）令x=y=1，根据定义在（0，+∞）上的函数f（x）恒有f（xy）=f（x）+f（y），我们易构造关于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）；   
（2）根据已知中定义在（0，+∞）上的函数f（x）恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且x＞1时，f（x）＜0恒成立，结合函数单调性的证明方法--作差法（定义法）我们即可得到f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）结合（1）、（2）的结论，我们可将不等式f（k•3x）-f（9x-3x+1）≥f（1）转化为一个指数不等式，进而利用换元法可将问题转化为一个二次不等式恒成立问题，解答后即可得到满足条件的实数k的取值范围．
【解析】
（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
则F（1）=2f（1）
∴f（1）=0；           （5分）
证明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）
可得，
设x1＞x2＞0，，，
∴，即f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；（10分）
（3）因为f（k•3x）-f（9x-3x+1）≥f（1），
所以f（k•3x）≥f（9x-3x+1），由（2）得（*）恒成立，
令t=3x＞0，则（*）可化为t2-（k+1）t+1≥0对任意t＞0恒成立，且k＞0，
∴（k+1）2-4≤0
∴0＜k≤1．（15分）