Question

已知函数f（x）=sin2x-2sin²x
（1）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合；
（2）求不等式f（x）≥0的解集．

Answer

（1）利用两角和差的正弦公式把函数f（x）化为sin（2x+）-1，故当2x+=2kπ+，k∈z 时，函数有最大值，从而得到f（x）取最大值时x的集合．
（2）不等式即 sin（2x+）≥，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得解集．
【解析】
（1）函数f（x）=sin2x-2sin2x=sin2x+cos2x-1=sin（2x+）-1．
故当2x+=2kπ+，k∈z，即 x=kπ+时，函数f（x）有最大值为-1．
∴f（x）取最大值时x的集合为{x|x=kπ+，k∈z }．
（2）不等式f（x）≥0，即 sin（2x+）≥，∴2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z．
解得  kπ≤x≤kπ+，故不等式f（x）≥0的解集为[kπ，kπ+]，k∈z．