Question

给定项数为m（m∈N^*，m≥3）的数列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一个正整数k（2≤k≤m-1），若数列{a_n}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{a_n}是“k阶可重复数列”，例如数列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0．因为a₁，a₂，a₃，a₄与a₄，a₅，a₆，a₇按次序对应相等，所以数列{a_n}是“4阶可重复数列”．
（Ⅰ）分别判断下列数列
①{b_n}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{c_n}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为m的数列{a_n}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
（Ⅲ）假设数列{a_n}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项a_m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a₄=1，求数列{a_n}的最后一项a_m的值．

Answer

（Ⅰ）观察数列特点看元素是否按次序对应相等即看判断数列是否为5阶可重复数列；
（Ⅱ）数为m的数列{an}一定是3阶可重复数列，数列的每一项只可以是0或1，则连续3项共有8种不同的情况，m=11数列有九组连续3项，m=10不是3阶可重复数列，而3≤m＜10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列，要使数列一定是3阶可重复数列m的最小值必须是11；
（Ⅲ）利用反证法证明a4=am=1．假设如果a1，a2，a3，a4与am-3，am-2，am-1，am不能按次序对应相等，那么必有2≤i，j≤m-4，i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3、aj，aj+1，aj+2，aj+3与am-3，am-2，am-1，am按次序对应相等．考虑ai-1，aj-1和am-4，其中必有两个相同，这就导致数列{an}中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{an}是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{an}不是“5阶可重复数列”矛盾得证．
【解析】
（Ⅰ）记数列①为{bn}，因为b2，b3，b4，b5，b6与b6，b7，b8，b9，b10按次序对应相等，
所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0，0，1，1，0；
记数列②为{cn}，因为c1，c2，c3，c4，c5、c2，c3，c4，c5，c6、c3，c4，c5，c6，c7、c4，c5，c6，c7，c8、c5，c6，c7，c8，c9、c6，c7，c8，c9，c10没有完全相同的，所以{cn}不是“5阶可重复数列”．
（Ⅱ）因为数列{an}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．
若m=11，则数列{an}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”；若m=10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”；则3≤m＜10时，
均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}．
所以，要使数列{an}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11．
（Ⅲ）由于数列{an}在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{an}的末项am后再添加一项0或1，则存在i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3，ai+4与am-3，am-2，am-1，am，0按次序对应相等，或aj，aj+1，aj+2，aj+3，aj+4与am-3，am-2，am-1，am，1按次序对应相等，
如果a1，a2，a3，a4与am-3，am-2，am-1，am不能按次序对应相等，那么必有2≤i，j≤m-4，i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3、aj，aj+1，aj+2，aj+3与am-3，am-2，am-1，am按次序对应相等．
此时考虑ai-1，aj-1和am-4，其中必有两个相同，这就导致数列{an}中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{an}是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{an}不是“5阶可重复数列”矛盾；
所以a1，a2，a3，a4与am-3，am-2，am-1，am按次序对应相等，
从而am=a4=1．